Querschnittswerte für Stäbe mit veränderlicher Höhe¶

Note

todos: Abbildungen, Definition der Vektoren h und b, Struktur

In diesem Abschnitt werden die Querschnittswerte für verschieden zusammengesetzte Rechtecksquerschnitte mit veränderlicher Höhe berechnet.

Rechtecksquerschnitte mit veränderlicher Höhe¶

import numpy as np
import stanpy as stp

b, ha, hb, hc = 0.2, 0.3, 0.3, 0.4 # m
hx = ha+(hb-ha)/l*x # m

cs_pros = stp.cs(b, hx)

Zusammengesetzte Rechtecksquerschnitte mit veränderlicher Höhe¶

Für zusammengesetzte Rechtecksquerschnitte müssen die jeweiligen Breiten, Höhen sowie Schwerpunktsabstände in y- und z-Richtung in Listen oder Arrays zusammengefasst werden.

import numpy as np
import stanpy as stp

ha, hb, hc = 0.2, 0.3, 0.3, 0.4 # m
hx = ha+(hb-ha)/l*x # m

b = np.array([b1,b2,b3])
h = np.array([h1,hx,h3])
zsi = np.array([zsi1,zsi2,zsi3])
ysi = np.array([ysi1,ysi2,ysi3])

cs_props = stp.cs(b,h,zsi,ysi)

Matrix Vektor Notation¶

In manchen Fällen kann es nützlich sein die Vektoren \(\vec{z_{si}}\) und \(\vec{y_{si}}\) in Abhängigkeit der Vektoren \(\vec{h}\) und \(\vec{b}\) anzuschreiben. Beispielsweise muss für einen Stab mit linear veränderlicher Höhe lediglich ein, von x Abhängiger, Eintrag im Vektor \(\vec{h}\) eingetragen werden. Analog gilt das auch für einen Stab mit linear veränderlicher Breite.

I - Querschnitt¶

Für einen I-Querschnitt kann der Vektor \(\vec{z_{si}}\) über eine Matrix Vektor Multiplikation, in Abhängigkeit von \(\vec{h}\) errechnet werden. Für einen Bezugspunkt an der Oberkante oder einen Bezugspunkt im Schwerpunkt des Querschnitts ergeben sich:

(1)¶\[\begin{split}\vec{z_{si,OK}}=\left[\begin{array}{ccc} 1/2&0&0\\ 1&1/2&0\\ 1&1&1/2 \end{array} \right]\cdot\vec{h} \quad \text{bzw.} \quad \vec{z_{si,SP}}=\left[\begin{array}{ccc} -1/2&-1/2&0\\ 0&0&0\\ 0&1/2&1/2 \end{array} \right]\cdot\vec{h}\end{split}\]

Dabei sind die Ergebnisse, bis auf den Abstand zum Bezugspunkt, ident.

(todo Abbildung):

import numpy as np
import stanpy as stp

ha, hb, hc = 0.2, 0.3, 0.3, 0.4 # m
hx = ha+(hb-ha)/l*x # m

b = np.array([b1,b2,b3])
h = np.array([h1,h2,h3])
zsi_OK = np.array([1/2,0,0],
               [1,1/2,0],
               [1,1,1/2]).dot(h)

zsi_SP = np.array([-1/2,-1/2,0],
               [0,0,0],
               [0,1/2,1/2]).dot(h)

cs_props_OK = stp.cs(b,h,zsi_OK) # Iy,zs, Iz, ys, Iyz, Iy_main, Iz_main, A
cs_props_SP = stp.cs(b,h,zsi_SP) # Iy,zs, Iz, ys, Iyz, Iy_main, Iz_main, A

(todo: prints)

H - Querschnitt¶

Analog zu dem I-Querschnitt kann der Vektor \(\vec{y_{si}}\) über eine Matrix Vektor Multiplikation, in Abhängigkeit von \(\vec{b}\) errechnet werden. Für einen Bezugspunkt am Linken Rand des H-Querschnitts ergibt sich:

(2)¶\[\begin{split}\vec{y_{si}}=\left[\begin{array}{ccc} 1/2&0&0\\ 1&1/2&0\\ 1&1&1/2 \end{array} \right]\cdot\vec{b}\end{split}\]

(todo Skizze):

import numpy as np
import stanpy as stp

b = np.array([b1,b2,b3])
h = np.array([h1,h2,h3])
ysi = np.array([1/2,0,0],
               [1,1/2,0],
               [1,1,1/2])
               .dot(b)

results = stp.QS(b=b,h=h,ysi=ysi) # Iy,zs, Iz, ys, Iyz, Iy_main, Iz_main, A

Kasten - Querschnitt¶

Für Kastenquerschnitte ergibt sich die Matrix Vektor Multiplikation analog zu (1) und (2).

(3)¶\[\begin{split}\vec{z_{si}}=\left[\begin{array}{cccc} 1/2&0&0&0\\ 1&1/2&0&0\\ 1&0&1/2&0\\ 1&0&1&1/2 \end{array} \right]\cdot\vec{h} \qquad \vec{y_{si}}=\left[\begin{array}{cccc} 1/2&0&0&0\\ 0&1/2&0&0\\ 1&0&-1/2&0\\ 0&0&0&1/2 \end{array} \right]\cdot\vec{b}\end{split}\]

(todo Skizze):

import numpy as np
import stanpy as stp

b = np.array([b1,b2,b3])
h = np.array([h1,h2,h3])

zsi = np.array([1/2,0,0,0], # Obergurt
               [1,1/2,0,0], # Steg links
               [1,0,1/2,0], # Steg rechts
               [1,0,1,1/2]) # Untergrut
               .dot(h)

ysi = np.array([1/2,0,0,0], # Obergurt
               [0,1/2,0,0], # Steg links
               [1,0,-1/2,0], # Steg rechts
               [0,0,0,1/2]) # Untergrut
               .dot(b)

results = stp.QS(b,h,zsi,ysi) # Iy,zs, Iz, ys, Iyz, Iy_main, Iz_main, A

Verstärkter - I Querschnitt¶

(todo Skizze):

(todo: still a placeholer)
import numpy as np
import stanpy as stp

b = np.array([b1,b2,b3])
h = np.array([h1,h2,h3])

zsi = np.array([1/2,0,0,0], # Obergurt
               [1,1/2,0,0], # Steg links
               [1,0,1/2,0], # Steg rechts
               [1,0,1,1/2]) # Untergrut
               .dot(h)

ysi = np.array([1/2,0,0,0], # Obergurt
               [0,1/2,0,0], # Steg links
               [1,0,-1/2,0], # Steg rechts
               [0,0,0,1/2]) # Untergrut
               .dot(b)

results = stp.QS(b,h,zsi,ysi) # Iy,zs, Iz, ys, Iyz, Iy_main, Iz_main, A