Übertragungsbeziehungen der Stabtheorie I. Ordnung¶

Important

(todo: Referenzen!!!)

Grundlagen¶

Ausgangspunkt der Herleitung der Übertragungsbeziehungen für Stäben mit linear veränderlicher Höhe sind die die Differentialgleichungen (1) des Biegeproblems der Stabtheorie I. Ordnung

(1)¶\[\begin{split}\frac{dV(x)}{dx} &= -q(x) \\[1em] \frac{dM(x)}{dx} &= V(x) + m(x)\\[1em] \frac{d\varphi(x)}{dx} &= -\left[\frac{M(x)}{EI(x)}+\kappa(x)\right]\\[1em] \frac{dw(x)}{dx} &= \varphi (x)\end{split}\]

Important

Die Differnetialgleichungen sind spezialisiert für den Fall der Schubstarrheit \(G\tilde{A}(x)=\infty\)

Integrationsschritte¶

Die gesuchten, von x abhängigen, Zustandsgrößen ergeben sich durch Schritt für Schritt aufintegrieren der Differnetialgleichungen (1). Nach jedem Integrationsschritt werden die Integrationskonstanten auf die andere Seite gebracht sowie die lastabhängigen Terme zu sogenannte Lastgliedern zusammengefasst. (todo: ref Funktion load_integrals). Zusätzlich wird zur Vereinfachung der Integrale die dimensionslose Funktion \(f(x)\) eingeführt. Dabei können die von x Abhängigen Querschnittswerte einfach über die Funktion cs (todo: Link zu Querschnittswerten) bestimmt werden.

(2)¶\[\begin{split}f(x)&=\frac{I(x)}{I(0)}=\frac{I(x)}{I_i}\\[1em] V(x) &= V_i - \underbrace{\int_0^x q(x)~dx}_{V^L(x)} = V_i + V^L(x)\\[1em] M(x) &= M_i + V_i~x + \underbrace{\int_0^x V^L(x) + m(x)~dx}_{M^L(x)} = M_i + V_i~x + M^L(x)\\[1em] \varphi(x) &= \varphi_i - \frac{M_i}{EI_i}\underbrace{\int_0^x\frac{1}{f(x)}~dx}_{b'_2(x)} - \frac{V_i}{EI_i}\underbrace{\int_0^x\frac{x}{f(x)}~dx}_{b'_3(x)} - \underbrace{\int_0^x\left[\frac{M^L(x)}{EI_i~f(x)}~dx+\kappa(x)\right]~dx}_{\varphi^L(x)}\\[1em] w(x) &= w_i + \varphi_i~x - \frac{M_i}{EI_i}\underbrace{\iint_0^x\frac{1}{f(x)}~dx^2}_{b_2(x)}- \frac{V_i}{EI_i}\underbrace{\iint_0^x\frac{x}{f(x)}~dx^2}_{b_3(x)} + \underbrace{\int_0^x\varphi^L(x)~dx}_{w^L(x)}\end{split}\]

Alle \(b(x)\) - Funktionen (transfer_relation_bj - future_todo: link) sowie die Lastintegrale \(V^L(x),~M^L(x),~\varphi^L(x),~w^L(x)\) (load_integrals - future_todo: link) werden in stanpy (todo: eigenen Schriftzug) mittels numerischer Integration über das scipy.integrate.quad (todo: link zu scipy) gelöst.

Lastintegrale für die Querkraftbelastung: (todo: Abbildungen, check sign)

(3)¶\[\begin{split}V^{L,V}(x) &= - \int_0^x \langle x-x_j\rangle^0F~dx-\int_0^x q(x)~dx\\[1em] M^{L,V}(x) &= - \iint_0^x \langle x-x_j\rangle^0F~dx^2-\iint_0^x q(x)~dx^2\\[1em] \varphi^{L,V}(x) &= \frac{F}{EI_i}\int_0^x \frac{\iint_0^x \langle x-x_j\rangle^0~dx^2}{f(x)}~dx+ \frac{1}{EI_i}\int_0^x \frac{\iint_0^x q(x)~dx^2}{f(x)}~dx\\[1em] w^{L,V}(x) &= \frac{F}{EI_i}\iint_0^x \frac{\iint_0^x \langle x-x_j\rangle^0~dx^2}{f(x)}~dx^2+ \frac{1}{EI_i}\iint_0^x \frac{\iint_0^x q(x)~dx^2}{f(x)}~dx^2\end{split}\]

Lastintegrale für die Momentenbelastung (todo: check sign):

Note

(todo: minimal working example)

Hint

(todo: Maculay Operator beschreiben + Integrationsregel)

(4)¶\[\begin{split}V^{L,M}(x) &= 0\\[1em] M^{L,M}(x) &= M^e \int_0^x \langle x-x_j\rangle^0~dx+\int_0^x m(x)~dx\\[1em] \varphi^{L,M}(x) &= -\frac{M^e}{EI_i}\int_0^x \frac{\int_0^x \langle x-x_j\rangle^0~dx^2}{f(x)}~dx- \frac{1}{EI_i}\int_0^x\frac{\int_0^x m(x)~dx}{f(x)}~dx\\[1em] w^{L,M}(x) &= -\frac{M^e}{EI_i}\iint_0^x \frac{\int_0^x \langle x-x_j\rangle^0~dx}{f(x)}~dx^2- \frac{1}{EI_i}\iint_0^x\frac{\int_0^x m(x)~dx}{f(x)}~dx^2\end{split}\]

Note

(todo: minimal working example)

Hint

(todo: Maculay Operator beschreiben + Integrationsregel)

Aufgrund der Linearität der Differentialgleichungen können die Lastglieder der verschiedenen Belastungtypen superpositioniert werden. Daher folgt:

(5)¶\[\begin{split}V^{L}(x) &= V^{L,V}(x)+V^{L,M}(x) \\[1em] M^{L}(x) &= M^{L,V}(x)+M^{L,M}(x) \\[1em] \varphi^{L}(x) &= \varphi^{L,V}(x)+\varphi^{L,M}(x) \\[1em] w^{L}(x) &= w^{L,V}(x)+w^{L,M}(x)\end{split}\]

Zusammenfassen zu den Übertragungsbeziehungen¶

Durch das Anschreiben der Gleichungen aus (2) und (3) in Matrix Vektor Form, ergeben sich die Übertragungsbeziehungen für einen Stab mit linear veränderlicher Höhe vom Stabanfang bis zu einem beliebigen Punkt x zu:

(6)¶\[\begin{split}\underbrace{\left[\begin{array}{c} w(x)\\ \varphi(x) \\ M(x)\\ V(x)\\ 1 \end{array} \right]}_{\vec{Z_x}} = \underbrace{\left[\begin{array}{ccccc} 1&x&-b_2/EI_i&-b_3/EI_i&w^L(x)\\ 0&1&-b'_2/EI_i&-b'_3/EI_i&\varphi^L(x)\\ 0&0&1&x&M^L(x)\\ 0&0&0&1&V^L(x)\\ 0&0&0&0&1\\ \end{array} \right]}_{\boldsymbol{F_{xi}}}\cdot\underbrace{\left[\begin{array}{c} w_i\\ \varphi_i\\ M_i\\ V_i\\ 1 \end{array} \right]}_{\vec{Z_i} }\end{split}\]

(DEV) Pre-implementation¶

Note

(DEV) - Development Sections dienen nur der Entwicklung und werden vor Release gelöscht

(todo: Löschen vor Release)

Definition der Problemstellung/Kenngrößen

für jeden Stab - Defintion der Randbedingungen (wenn vorhanden) - Berechnen der Querschnittswerte - Definition des Stab-Dictionarys - Berechnen der Übertragungsbeziehungen

Zusammenführen der Übertragungsbeziehungen

Lösen durch Randbedingungen

Rückrechnen der Zustandsvektoren am Stabanfang und Stabende (für jeden Stab)

Einhängen der Belastungsfunktionen (TH I)

Numerisches Lösen über Stabpunkte über (einhängen von Curve-Fit) (TH II)

(DEV) Userbility-Studie¶

Warning

(DEV) - Development Sections dienen nur der Entwicklung und werden vor Release gelöscht

import stanpy as stp
from sympy.abc import x

# Definition der Problemstellung ################

EI = ... # kN/m²
q = ... # kN/m
l = ... # m
P = ... # kN
b, h = ..., ... # m

Variation GEOM 0¶

Note

(!) Geometrie:

jedem Stab ist eine Länge zugeordnet

Materialeigenschaften:

kann direkt zugeordnet werden (analog zu allen Varianten)

Belastung: (analog zu allen Varianten)

q - kann direkt zugeordnet werden
F - über Tupel (dim=2) bestehnd aus Kraft und Abstand x_j zum Knotenanfang
geplant: zus. Rotation für die Kraft F (dim=3)

Randbedingunen/Übergangsbedingungen:

werden über Stabanfangsbedingung “bc_i” und Stabendbedingung “bc_k” zugeordnet

Nachlauf/Solve:

Stäbe werden in Stabliste zusammengefasst und übergeben bzw. gesolved

 roller_support = {"w":0, "M":0} # Gleitlager
 hinge = {"M":0}
 fixed_support = {"w":0, "phi":0} # Einspannung

 s1 = {"l":l, # (!)
       "EI":EI,
       "q":q, "F":(P,l/2),
       "bc_i":roller_support, "bc_k":hinge}

 s2 = {"l":l, # (!)
       "EI":EI,
       "q":q, "F":(P,l/2),
       "bc_i":{}, "bc_k":fixed_support}

 s_list = [s1,s2]

 s_list = stp.tr_solve(s_list)

Variation GEOM 1 = BC 0¶

Note

(!) Geometrie:

jedem Stab ist ein Anfangsknoten k_i und ein Endknoten k_k zugeordnet

Materialeigenschaften:

kann direkt zugeordnet werden (analog zu allen Varianten)

Belastung: (analog zu allen Varianten)

q - kann direkt zugeordnet werden
F - über Tupel (dim=2) bestehnd aus Kraft und Abstand x_j zum Knotenanfang
geplant: zus. Rotation für die Kraft F (dim=3)

(!) Randbedingunen/Übergangsbedingungen:

werden über Stabanfangsbedingung “bc_i” und Stabendbedingung “bc_k” zugeordnet

Nachlauf/Solve:

Stäbe werden in Stabliste zusammengefasst und übergeben bzw. gesolved

 node_1 = (x1,y1)
 node_2 = (x2,y2)
 node_3 = (x3,y3)

 roller_support = {"w":0, "M":0} # Gleitlager
 hinge = {"M":0}
 fixed_support = {"w":0, "phi":0} # Einspannung

 s1 = {"k_i":node_1, "k_k": node_2, # (!)
       "EI":EI,
       "q":q, "F":(P,l/2),
       "bc_i":roller_support, "bc_k":hinge} # (!)

 s2 = {"k_i":node_2, "k_k": node_3, # (!)
       "EI":EI,
       "q":q, "F":(P,l/2),
       "bc_i":{}, "bc_k":fixed_support} # (!)

 s_list = [s1,s2] # oder s_list = [s2,s1]

 s_list = stp.tr_solve(s_list)

Variation BC 1¶

Note

Geometrie:

jedem Stab ist ein Anfangsknoten k_i und ein Endknoten k_k zugeordnet

Materialeigenschaften:

kann direkt zugeordnet werden (analog zu allen Varianten)

Belastung: (analog zu allen Varianten)

q - kann direkt zugeordnet werden
F - über Tupel (dim=2) bestehnd aus Kraft und Abstand x_j zum Knotenanfang
geplant: zus. Rotation für die Kraft F (dim=3)

(!) Randbedingunen:

werden über Stabanfangsbedingung “bc_i” und Stabendbedingung “bc_k” zugeordnet

(!) Übergangsbedingung:

durch hinzufügen eines Gelenks in Stabliste

Nachlauf/Solve:

Stäbe werden in Stabliste zusammengefasst und übergeben bzw. gesolved

 roller_support = {"w":0, "M":0} # Gleitlager
 hinge = {"M":0}
 fixed_support = {"w":0, "phi":0} # Einspannung

 s1 = {"k_i":(x1,y1), "k_k": (x2,y2),
       "EI":EI,
       "q":q, "F":(P,l/2),
       "bc_i":roller_support} # (!)

 s2 = {"k_i":(x1,y1), "k_k": (x2,y2),
       "EI":EI,
       "q":q, "F":(P,l/2),
       "bc_k":fixed_support} # (!)

 s_list = [s1,hinge,s2] # (!)

Variation BC 2¶

Note

Geometrie:

jedem Stab ist ein Anfangsknoten k_i und ein Endknoten k_k zugeordnet

Materialeigenschaften:

kann direkt zugeordnet werden (analog zu allen Varianten)

Belastung: (analog zu allen Varianten)

q - kann direkt zugeordnet werden
F - über Tupel (dim=2) bestehnd aus Kraft und Abstand x_j zum Knotenanfang
geplant: zus. Rotation für die Kraft F (dim=3)

(!) Randbedingunen/Übergangsbedingung:

Reihenfolge in Stabliste definiert die Rand und Übergangsbedingungen

Nachlauf/Solve:

Stäbe werden in Stabliste zusammengefasst und übergeben bzw. gesolved

 roller_support = {"w":0, "M":0} # Gleitlager
 hinge = {"M":0}
 fixed_support = {"w":0, "phi":0} # Einspannung

 s1 = {"k_i":(x1,y1), "k_k": (x2,y2),
       "EI":EI,
       "q":q, "F":(P,l/2),
       }

 s2 = {"k_i":(x1,y1), "k_k": (x2,y2),
       "EI":EI,
       "q":q, "F":(P,l/2),
       }

 s_list = [roller_support, s1, hinge, s2, fixed_support] # (!)

# Lösen des Gleichungssystems ###################

s = stp.tr_solve(s_list)

Eingliedrig (R-Querschnitt, konstante Höhe)¶

stanpy black-box (Level 0)¶

(todo: Abbildungen)

 import stanpy as stp
 from sympy.abc import x

 # Definition der Problemstellung ################

 E = 3*10**7 # kN/m²
 q = 10 # kN/m
 l = 2 # m
 P = 3 # kN
 b, h = 0.2, 0.3 # m

 # Stab 1 ########################################

 cs1_prop = stp.cs(b=b, h=h) # oder EI = E*b*h**3/12
 bc_a = {"w":0, "M":0} # Gleitlager in a
 bc_b = {"w":0, "phi":0} # Einspannung in b
 s = {"l":l, "q":q, "F":(P,l/2),"EI":E*cs1_prop["I"], "bc_i":bc_a, "bc_k":bc_b}

 # Lösen des Gleichungssystems ###################

 s = stp.tr_solve(s)

 # Plotten der Ergebnisse #########################

 fig, (ax_M, ax_V) = plt.subplots(2)

 stp.plot(s, ax=ax_M)
 stp.plot_M(s, ax=ax_M)

 stp.plot(s, ax=ax_V)
 stp.plot_V(s, ax=ax_V)

 plt.show() # (todo: show py-Plot)

stanpy step-by-step (Level 1)¶

(todo: Abbildungen)

 import stanpy as stp
 from sympy.abc import x

 # Definition der Problemstellung ################

 E = 3*10**7 # kN/m²
 q = 10 # kN/m
 l = 2 # m
 P = 3 # kN
 b, h = 0.2, 0.3 # m

 # Stab 1 ########################################

 (todo)

without stanpy (Level -1)¶

(todo: Abbildungen)

 import stanpy as stp
 from sympy.abc import x

 # Definition der Problemstellung ################

 E = 3*10**7 # kN/m²
 q = 10 # kN/m
 l = 2 # m
 P = 3 # kN
 b, h = 0.2, 0.3 # m

 # Stab 1 ########################################

 (todo)

Eingliedrig (R-Querschnitt, veränderliche Höhe)¶

stanpy black-box (Level 0)¶

(todo: Abbildungen)

 import stanpy as stp
 from sympy.abc import x

 # Definition der Problemstellung ################

 E = 3*10**7 # kN/m²
 q = 10 # kN/m
 l = 2 # m
 P = 3 # kN
 b, ha, hb = 0.2, 0.3, 0.2 # m

 # Stab 1 ########################################

 hx = ha+(hb-ha)/l*x # m
 cs1_prop = stp.cs(b=b, h=hx)
 bc_a = {"w":0, "M":0} # Gleitlager in a
 bc_b = {"w":0, "phi":0} # Einspannung in b
 s = {"l":l, "q":q, "F":(P,l/2),"EI":E*cs1_prop["I"], "bc_i":bc_a, "bc_k":bc_b}

 # Lösen des Gleichungssystems ###################

 s = stp.tr_solve(s)

 # Plotten der Ergebnisse#########################

 fig, (ax_M, ax_V) = plt.subplots(2)

 stp.plot(s, ax=ax_M)
 stp.plot_M(s, ax=ax_M)

 stp.plot(s, ax=ax_V)
 stp.plot_V(s, ax=ax_V)

 plt.show() # (todo: show py-Plot)

stanpy step-by-step (Level 1)¶

(todo: Abbildungen)

 import stanpy as stp
 from sympy.abc import x

 # Definition der Problemstellung ################

 E = 3*10**7 # kN/m²
 q = 10 # kN/m
 l = 2 # m
 P = 3 # kN
 b, ha, hb = 0.2, 0.3, 0.2 # m

 # Stab 1 ########################################

 (todo)

without stanpy (Level -1)¶

(todo: Abbildungen)

 import stanpy as stp
 from sympy.abc import x

 # Definition der Problemstellung ################

 E = 3*10**7 # kN/m²
 q = 10 # kN/m
 l = 2 # m
 P = 3 # kN
 b, ha, hb = 0.2, 0.3, 0.2 # m

 # Stab 1 ########################################

 (todo)

Eingliedrig (I-Querschnitt, konstante Höhre)¶

stanpy black-box (Level 0)¶

 import stanpy as stp
 from sympy.abc import x

 # Definition der Problemstellung ################

 E = 3*10**7 # kN/m²
 q = 10 # kN/m
 l = 2 # m
 P = 3 # kN
 t = 0.2
 s = 0.08
 b, ha, hb = 0.2, 0.3, 0.2 # m


 # Stab 1 ########################################
 hx = ha+(hb-ha)/l*x # m

 b_vec = np.array([b,s,b]) # Breiten der QS
 h_vec = np.array([t, hx-2*t, t]) # Höhen der QS

 cs1_prop = stp.cs(b=b_vec, h=h_vec)
 bc_a = {"w":0, "M":0} # Gleitlager in a
 bc_b = {"w":0, "phi":0} # Einspannung in b
 slab = {"l":l, "q":q, "P":(P, l/2), "EI":E*cs1_prop["I"], "bc_i":bc_a, "bc_k":bc_b}

 # Lösen des Gleichungssystems ###################

 slab = stp.tr_solve(slab)

 # Plotten der Ergebnisse#########################

 fig, (ax_M, ax_V) = plt.subplots(2)

 stp.plot(slab, ax=ax_M)
 stp.plot_M(slab, ax=ax_M)

 stp.plot(slab, ax=ax_V)
 stp.plot_V(slab, ax=ax_V)

 plt.show() # (todo: show py-Plot)

stanpy step-by-step (Level 1)¶

(todo: Abbildungen)

 import stanpy as stp
 from sympy.abc import x

 # Definition der Problemstellung ################

 E = 3*10**7 # kN/m²
 q = 10 # kN/m
 l = 2 # m
 P = 3 # kN
 t = 0.2
 s = 0.08
 b, ha, hb = 0.2, 0.3, 0.2 # m

 # Stab 1 ########################################

 (todo)

Eingliedrig (I-Querschnitt, veränderliche Höhe)¶

(todo) Zweigliedrig - (R-Querschnitt) ==============================

stanpy black-box (Level 0)¶

 import stanpy as stp
 from sympy.abc import x

 # Definition der Problemstellung ################

 E = 3*10**7 # kN/m²
 q = 10 # kN/m
 l = 2 # m
 b, ha, hb, hc = 0.2, 0.3, 0.3, 0.4 # m

 # Stab 1 ########################################

 cs1_prop = stp.cs(b=b, h=ha)
 bc_a = {"w":0, "M":0} # Gleitlager in a
 s_1 = {"l":l, "q":q, "E":E, "I":cs1_prop["I"], "bc_i":bc_a}

 # Stab 2 ########################################

 hx = hb+(hb-hc)/l*x # m
 cs2_prop = stp.cs(b=b, h=hx)
 bc_c = {"w":0, "phi":0} # Einspannung in c
 s_2 = {"l":l, "q":q, "E":E, "I":cs2_prop["I"], "bc_k":bc_c}

 # Lösen des Gleichungssystems + Injektion #######

 s_1, s_2 = stp.tr_solve(s_1, s_2)

 # Plotten #######################################

 fig, ax = plt.subplots()
 stp.plot(s1,s2, ax=ax, m=True)
 plt.show() # (todo: show py-Plot)

Hint

Ein leeres Dictionary bc = {} für die Randbedingung bedeutet, dass alle Zustandsgrößen unbekannt sind

stanpy step-by-step (Level 1)¶

 import stanpy as stp
 from sympy.abc import x
 import matplotlib.pyplot as plt

 # Definition der Problemstellung ################

 E = 3*10**7 # kN/m²
 q = 10 # kN/m
 l = 2 # m
 b, ha, hb, hc = 0.2, 0.3, 0.3, 0.4 # m

 # Stab 1 ########################################

 cs1_prop = stp.cs(b=b, h=ha)
 s1 = {'l':l, 'q':q, 'EI':E*cs1_prop["I"]}
 li = stp.tr1_load_integrals(s1)
 bj = stp.tr1_bj_function(s1)
 fba = stp.tr(s1)

 # Stab 2 ########################################

 hx = ha+(hb-ha)/l*x # m
 cs2_prop = stp.cs(b=b, h=hx)
 s_2 = {"l":l, "q":q, "EI":E*cs2_props["I"]}

 li = stp.tr1_load_integrals(s1)
 bj = stp.tr1_bj_function(s1)
 fcb = stp.tr(s2)

 # Stabzug 1-2 ###################################

 f_ca = f_cb * f_ba

 # Lösen des Gleichungssystems ###################

 z_a = {"w":0, "M":0}
 z_c = {"w":0, "phi":0}
 z_c, z_a = stp.solve_tr(z_c, f_ca, z_a)
 z_b = f_ba*z_a

 (todo: besseren Namen für inject_function finden)
 s_1 = stp.inject_function(s_1, z_a, z_b) # Einhängen der Zustandsfunktionen
 s_2 = stp.inject_function(s_2, z_b, z_c) # Einhängen der Zustandsfunktionen

 # Plotten #######################################

 fig, ax = plt.subplots()
 stp.plot(s1,s2, ax=ax, m=True)
 plt.show()

Dreigliedrig (I-Querschnitt)¶

stanpy black-box (Level 0)¶

import stanpy as stp
from sympy.abc import x

# Definition der Problemstellung ################

(todo: richtigen Werte einsetzen)
E = 3*10**7 # kN/m²
q = 10 # kN/m
l1, l2, l3 = 1, 2, 1 # m
t = 0.2
s = 0.08
b, ha, hb, hc, hd = 0.2, 0.3, 0.3, 0.2, 0.3 # m

b_vec = np.array([b,s,b]) # Breiten der QS

# Stab 1 ########################################

h_vec = np.array([t, ha-2*t, t]) # Höhen der QS
cs1_prop = stp.cs(b=b_vec, h=h_vec)
bc_a = {"w":0, "M":0} # Gleitlager in a
bc_b = {"dV":P} # Einzelkraft in b (positiv in z-Richtung)

s_1 = {"l":l1, "EI":E*cs1_prop["I"], "bc_i":bc_a, "bc_k":bc_b}

# Stab 2 ########################################

hx = hb-(hb-hc)/l2*x # m
h_vec = np.array([t, hx-2*t, t]) # Höhen der QS
cs2_prop = stp.cs(b=b_vec, h=h_vec)
s_2 = {"l":l2, "q":q, "EI":E*cs2_prop["I"]}

# Stab 3 ########################################

hx = hb-(hb-hc)/l3*x # m
h_vec = np.array([t, hx-2*t, t]) # Höhen der QS
cs2_prop = stp.cs(b=b_vec, h=h_vec)
s_2 = {"l":l2, "q":q, "EI":E*cs2_prop["I"]}

# Lösen des Gleichungssystems + Injektion #######

s_1, s_2, s_3 = stp.tr_solve(s_1, s_2, s_3)

# Plotten #######################################

fig, ax = plt.subplots()
stp.plot(s_1,s_2, ax=ax, m=True)
plt.show() # (todo: show py-Plot)

Hint

Ein leeres Dictionary bc = {} für die Randbedingung bedeutet, dass alle Zustandsgrößen unbekannt sind

Querschnittswerte

Übertragungsbeziehungen der Stabtheorie II. Ordnung