Querschnittswerte¶

Grundlagen¶

Flächenmomente und der Schwerpunkt¶

Der Flächeninhalt A einer beliebige Fläche (Flächtenmoment 0. Ordnung) kann berechnet werden nach

(1)¶\[A = \int_A~dA\]

die statischen Momente (Flächenmomente 1. Ordnung) bezogen auf einen beliebigen Punkt uf einen beliebigen Punkt P nach

(2)¶\[S_{p,y} = \int_A (y-y_p)~dA \quad S_{p,z} = \int_A (z-z_p)~dA\]

(todo) Herleitung Schwerpunkt

und die Flächenträgheitsmomente bzw. Deviationsmomemnte (Flächenmomente 2. Ordnung) bezogen auf einen beliebigen Punkt P nach

(3)¶\[I_{p,yy} = \int_A (y-y_p)^2~dA \quad I_{p,zz} = \int_A (z-z_p)^2~dA \quad I_{p,yz} = I_{p,zy} = \int_A (y-y_p)(z-z_p)~dA\]

Die Flächenträgheitsmomente lassen sich in einer symmetrischen Matrix anordnen, wobei das resultierende Eigenwertproblem zu den Hauptträgheitsmomenten führt.

(4)¶\[\begin{split}\mathbf{I_p}&=\left[\begin{array}{cc} I_{p,yy}&I_{p,yz}\\ I_{p,zy}&I_{p,zz} \end{array} \right] \qquad \det{\mathbf{I_p}} - \text{diag}(\lambda) &= 0\end{split}\]

Diskretisierung für zusammengesetzte R-Querschnitte¶

Zur Berechnung der Querschnittswerte in einer Vektorschreibweise werden die Höhen, Breiten sowie Abstände der Schwerpunkte zu einem beliebigen Bezugspunkt in y- und z-Richtung in eigene Vektoren \(\vec{h}\), \(\vec{b}\), \(\vec{z_{si}}\) und \(\vec{y_{si}}\) zusammengefasst.

(5)¶\[\begin{split}\vec{A} &= \vec{b} \odot \vec{h}\qquad A = \vec{b} \cdot \vec{h}\\[1em] z_s &= \frac{\vec{A} \cdot \vec{z_{si}}}{\vec{b} \cdot \vec{h}}=\frac{\vec{A} \cdot \vec{z_{si}}}{A}\qquad y_s = \frac{\vec{A} \cdot \vec{y_{si}}}{\vec{b} \cdot \vec{h}}=\frac{\vec{A} \cdot \vec{y_{si}}}{A}\\[1em] I_y &= \frac{\vec{b}\cdot\vec{h}^{\circ 3}}{12}+\vec{A}\cdot\vec{z_{si}}-z_s\cdot\vec{A}\cdot\vec{z_{si}}\qquad I_z = \frac{\vec{b}^{\circ 3}\cdot\vec{h}}{12}+\vec{A}\cdot\vec{y_{si}}-z_s\cdot\vec{A}\cdot\vec{y_{si}}\\[1em]\end{split}\]

Note

todo: Abbildungen, Definition der Vektoren h und b, erkläre Hadamard-Produkt, Deviationsmomente, Hauptträgheitsmomente

Querschnittswerte¶

(todo: Abbildungen)

R - Querschnitt¶

import numpy as np
import stanpy as stp

b = 0.2
h = 0.4

cs_props = stp.cs(b=b,h=h)

I - Querschnitt¶

(todo)

H - Querschnitt¶

(todo)

U - Querschnitt¶

(todo)

Kasten - Querschnitt¶

(todo)

Kreis - Querschnitt¶

(todo)

Querschnitte nach Norm¶

(todo: HEB, HEA, IPE, …)

Zusammengesetzter R-Querschnitt Allgemein¶

Für zusammengesetzte Rechtecksquerschnitte müssen die jeweiligen Breiten, Höhen sowie Schwerpunktsabstände in y- und z-Richtung in Listen oder Arrays zusammengefasst werden. (todo: Abbildung)

import numpy as np
import stanpy as stp

b = np.array([b1,b2,b3])
h = np.array([h1,h2,h3])
zsi = np.array([zsi1,zsi2,zsi3])
ysi = np.array([ysi1,ysi2,ysi3])

cs_props = stp.cs(b,h,zsi,ysi)

Stäbe mit linear veränderlicher Höhe¶

Für die Berechnung der Querschnittswerte für Stäbe mit linear veränderlicher Höhe ist es nützlich die Vektoren \(\vec{z_{si}}\) und \(\vec{y_{si}}\) in Abhängigkeit der Vektoren \(\vec{h}\) bzw. \(\vec{b}\) anzuschreiben.

I - Querschnitt¶

Für einen I-Querschnitt kann der Vektor \(\vec{z_{si}}\) über eine Matrix Vektor Multiplikation, in Abhängigkeit von \(\vec{h}\) errechnet werden. Für einen Bezugspunkt an der Oberkante oder einen Bezugspunkt im Schwerpunkt des Querschnitts ergeben sich:

(6)¶\[\begin{split}\vec{z_{si,OK}}=\left[\begin{array}{ccc} 1/2&0&0\\ 1&1/2&0\\ 1&1&1/2 \end{array} \right]\cdot\vec{h} \quad \text{bzw.} \quad \vec{z_{si,SP}}=\left[\begin{array}{ccc} -1/2&-1/2&0\\ 0&0&0\\ 0&1/2&1/2 \end{array} \right]\cdot\vec{h}\end{split}\]

Dabei sind die Ergebnisse, bis auf den Abstand zum Bezugspunkt, ident.

(todo Abbildung):

import numpy as np
import stanpy as stp

ha, hb, hc = 0.2, 0.3, 0.3, 0.4 # m
hx = ha+(hb-ha)/l*x # m

b = np.array([b1,b2,b3])
h = np.array([h1,h2,h3])
zsi_OK = np.array([1/2,0,0],
               [1,1/2,0],
               [1,1,1/2]).dot(h)

zsi_SP = np.array([-1/2,-1/2,0],
               [0,0,0],
               [0,1/2,1/2]).dot(h)

cs_props_OK = stp.cs(b,h,zsi_OK) # Iy,zs, Iz, ys, Iyz, Iy_main, Iz_main, A
cs_props_SP = stp.cs(b,h,zsi_SP) # Iy,zs, Iz, ys, Iyz, Iy_main, Iz_main, A

(todo: prints)

H - Querschnitt¶

Analog zu dem I-Querschnitt kann der Vektor \(\vec{y_{si}}\) über eine Matrix Vektor Multiplikation, in Abhängigkeit von \(\vec{b}\) errechnet werden. Für einen Bezugspunkt am Linken Rand des H-Querschnitts ergibt sich:

(7)¶\[\begin{split}\vec{y_{si}}=\left[\begin{array}{ccc} 1/2&0&0\\ 1&1/2&0\\ 1&1&1/2 \end{array} \right]\cdot\vec{b}\end{split}\]

(todo Skizze):

import numpy as np
import stanpy as stp

b = np.array([b1,b2,b3])
h = np.array([h1,h2,h3])
ysi = np.array([1/2,0,0],
               [1,1/2,0],
               [1,1,1/2])
               .dot(b)

results = stp.QS(b=b,h=h,ysi=ysi) # Iy,zs, Iz, ys, Iyz, Iy_main, Iz_main, A

Kasten - Querschnitt¶

Für Kastenquerschnitte ergibt sich die Matrix Vektor Multiplikation analog zu (1) und (2).

(8)¶\[\begin{split}\vec{z_{si}}=\left[\begin{array}{cccc} 1/2&0&0&0\\ 1&1/2&0&0\\ 1&0&1/2&0\\ 1&0&1&1/2 \end{array} \right]\cdot\vec{h} \qquad \vec{y_{si}}=\left[\begin{array}{cccc} 1/2&0&0&0\\ 0&1/2&0&0\\ 1&0&-1/2&0\\ 0&0&0&1/2 \end{array} \right]\cdot\vec{b}\end{split}\]

(todo Skizze):

import numpy as np
import stanpy as stp

b = np.array([b1,b2,b3])
h = np.array([h1,h2,h3])

zsi = np.array([1/2,0,0,0], # Obergurt
               [1,1/2,0,0], # Steg links
               [1,0,1/2,0], # Steg rechts
               [1,0,1,1/2]) # Untergrut
               .dot(h)

ysi = np.array([1/2,0,0,0], # Obergurt
               [0,1/2,0,0], # Steg links
               [1,0,-1/2,0], # Steg rechts
               [0,0,0,1/2]) # Untergrut
               .dot(b)

results = stp.QS(b,h,zsi,ysi) # Iy,zs, Iz, ys, Iyz, Iy_main, Iz_main, A

I - Querschnitt (verstärkt)¶

(todo Abbildungen):

(todo: still a placeholer)
import numpy as np
import stanpy as stp

b = np.array([b1,b2,b3,b4])
h = np.array([h1,h2,h3,h4])

zsi = np.array([1/2,0,0,0], # Obergurt
               [1,1/2,0,0], # Steg links
               [1,0,1/2,0], # Steg rechts
               [1,0,1,1/2]) # Untergrut
               .dot(h)

ysi = np.array([1/2,0,0,0], # Obergurt
               [0,1/2,0,0], # Steg links
               [1,0,-1/2,0], # Steg rechts
               [0,0,0,1/2]) # Untergrut
               .dot(b)

results = stp.QS(b,h,zsi,ysi) # Iy,zs, Iz, ys, Iyz, Iy_main, Iz_main, A

User Guide

Übertragungsbeziehungen der Stabtheorie I. Ordnung